عنوان فعالیت: تمرین ۴ حل معادله گویا برای یافتن ضریب $\mathbf{k}$ ریاضی دهم انسانی
۴. به ازای چه مقدار $\mathbf{k}$، معادله‌ی $\mathbf{\frac{4 - t}{2 - 2t} = \frac{3t^2 + k}{(t^2 + 1)^2 - 6t^2}}$ دارای جواب $\mathbf{t = 3}$ است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه 37 ریاضی دهم انسانی
در این مسئله، ما مقدار یک ریشه ($\mathbf{t=3}$) را می‌دانیم و باید مقدار یک ضریب مجهول ($\mathbf{k}$) را پیدا کنیم. کافی است $\mathbf{t=3}$ را در معادله جایگذاری کنیم.
### گام ۱: ساده‌سازی مخرج کسر سمت راست
ابتدا مخرج کسر سمت راست را ساده می‌کنیم. از اتحاد مربع مجموع دو جمله استفاده می‌کنیم:
$$\mathbf{(t^2 + 1)^2 - 6t^2 = (t^4 + 2t^2 + 1) - 6t^2 = t^4 - 4t^2 + 1}$$
**معادله ساده شده:**
$$\mathbf{\frac{4 - t}{2 - 2t} = \frac{3t^2 + k}{t^4 - 4t^2 + 1}}$$
### گام ۲: جایگذاری $\mathbf{t = 3}$
$$\mathbf{\frac{4 - 3}{2 - 2(3)} = \frac{3(3)^2 + k}{(3)^4 - 4(3)^2 + 1}}$$
$$\mathbf{\frac{1}{2 - 6} = \frac{3(9) + k}{81 - 4(9) + 1}}$$
$$\mathbf{\frac{1}{-4} = \frac{27 + k}{81 - 36 + 1}}$$
$$\mathbf{-\frac{1}{4} = \frac{27 + k}{46}}$$
### گام ۳: حل معادله برای $\mathbf{k}$
با ضرب طرفین وسطین:
$$\mathbf{4(27 + k) = -1(46)}$$
$$\mathbf{108 + 4k = -46}$$
$$\mathbf{4k = -46 - 108}$$
$$\mathbf{4k = -154}$$
$$\mathbf{k = \frac{-154}{4} = -\frac{77}{2} = -38.5}$$
**پاسخ نهایی:** مقدار $\mathbf{k}$ برابر $\mathbf{-\frac{77}{2}}$ یا $\mathbf{-38.5}$ است.
